Poliedros Platónicos y Arquimedianos

 

 

 POLIEDROS

Poliedros Regulares (Platónicos)

 En geometría los sólidos  de caras planas reciben el nombre de “poliedros” (de las palabras griegas polys: “múltiples”, y hedra: “cara”). Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares, se llaman poliedros regulares, los cuales  son cinco.

 Para mostrar porqué  son cinco – y no más – se suele razonar del modo siguiente:

 (1)       Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido.                   (2)       La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentren en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.

(3)       Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Esos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de  un cuadrado mide 90°, de modo que solo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ese es el caso del hexaedro (cubo). Los ángulos interiores de un pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los siguientes polígonos ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de un hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aún mayores.

 En el siguiente cuadro  se presentan sus nombres y características.

Poliedro Regular	Tetraedro Regular	Hexaedro Regular	Octaedro Regular	Dodecaedro Regular	Icosaedro Regular
Caras	4 triángulos Equiláteros	6 cuadrados	8 triángulos Equiláteros	12 pentágonos Regulares	20 triángulos Equiláteros
Vértices	4	8	6	20	12
Aristas	6	12	12	30	30
Aristas Por Vértice	3	3	4	3	5

Construcción de cubo

Construcción de Tetraedro

Construcción de Octaedro

Construcción de Dodecaedro

Construcción de Icosaedro

Poliedros Semirregulares (Arquimedianos)

 Los poliedros arquimedianos o semirregulares son sólidos que tienen todas las caras (polígonos) regulares y en cada vértice concurre el mismo número de aristas, pero no todas las caras son iguales, por tener cada uno más de un tipo de polígono.

Su nombre se debe a que fue Arquímedes el que los describió por primera vez. Arquímedes describió estos poliedros indicando el número de polígonos que concurren en cada vértice y el número de lados de estos polígonos.

Kepler fue quien dio nombre a estos poliedros y probó que hay trece poliedros arquimedianos, además de los prismas y antiprismas de caras regulares, pero en 1904 Sommerville (1879-1934) describió el pseudorrombicuboctaedro que es el  poliedro semirregular número 14.

Algunos de estos poliedros arquimedianos se utilizan como elementos decorativos en farolas y otros adornos. Hasta hace pocos años los balones de fútbol estaban hechos con uno de estos poliedros, el formado con hexágonos y pentágonos (icosaedro truncado), aunque no siempre había sido así; parece que los griegos utilizaban dodecaedros para la construcción de sus balones. Ahora el balón oficial también corresponde a un poliedro arquimediano, el pequeño rombicosidodecaedro que está formado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos.

En la siguiente tabla se presentan sus nombres y sus características

Nombre	Caras	Vértices	Aristas	Aristas por vértice
Tetraedro truncado	4 triángulos, 4 hexágonos	12	18	3
Cuboctaedro	8 triángulos, 6 cuadrados	12	24	4
Cubo truncado	8 triángulos, 6 octágonos	24	36	3
Octaedro truncado	6 cuadrados, 8 hexágonos	24	36	3
Pequeño rombicuboctaedro	8 triángulos, 18 cuadrados	24	48	4
Pseudorrombicuboctaedro	8 triángulos,18 cuadrados	24	48	4
Gran rombicuboctaedro o cuboctaedro truncado	12 cuadrados, 8 hexágonos, 6 octágonos	48	72	3
Cubo chato	32 triángulos, 6 cuadrados	24	60	5
Icosidodecaedro	20 triángulos, 12 pentágonos	30	60	4
Dodecaedro truncado	20 triángulos, 12 decágonos	60	90	3
Icosaedro truncado	12 pentágonos, 20 hexágonos	60	90	3
Pequeño rombicosidodecaedro	20 triángulos, 30 cuadrados, 12 pentágonos	60	120	4
Gran rombicosidodecaedro o icosidodecaedro truncado	30 cuadrados, 20 hexágonos, 12 decágonos	120	180	3
Dodecaedro chato	80 triángulos, 12 pentágonos	60	150	5

Relaciones Geométricas Entre Los Poliedros Platónicos Y Los Poliedros Arquimedianos

Para obtener cada uno de los poliedros semirregulares debemos realizar una serie de operaciones, partiendo de los poliedros regulares, dichas operaciones son: Truncamientos y unión de los puntos medios de las aristas

En los siguientes mapas conceptuales se presenta la relación entre los poliedros regulares y los poliedros semirregulares.

 

Obtención del tetraedro truncado a partir del tetraedro

Obtención del cubo truncado, cuboctaedro, gran rombicuboctaedro, pequeño rombicuboctaedro y pseudorrombicuboctaedro, a partir del hexaedro.

Obtención del octaedro truncado, cuboctaedro, gran rombicuboctaedro, pequeño rombicuboctaedro y pseudorrombicuboctaedro, a partir del octaedro.

 

Obtención del dodecaedro truncado, cubo chato, icosidodecaedro, gran rombicosidodecaedro y pequeño rombicosidodecaedro a partir del dodecaedro.

Obtención del icosaedro truncado, dodecaedro chato, icosidodecaedro, gran rombicosidodecaedro y pequeño rombicosidodecaedro a partir del icosaedro.

 

REFERENCIAS:

1.      EXTREMIANA, J. Ignacio, HERNÁNDEZ, Javier y RIVAS, M. Teresa: Cuerpos e Ideas Platónicas.

https://www.unirioja.es/cu/luhernan/Divul/POLIEDROS/cuerpos.html

2.     GUILLÉN, Gregoria: El mundo de los poliedros. Sintesis.1995

3.      NIÑO, Jaime: Monografía: una propuesta para  la  construcción de los poliedros platónicos y de los  arquimedianos mediante el origami y el estudio matemático de sus características. 2004